Математические методы исследования биоритмов
Выявление и оценка любого периодического процесса предусматривает обработку временного ряда наблюдений. Все ряды могут быть подразделены на группы с равно- и неравноотстоящими наблюдениями. Методы анализа первых хорошо разработаны и широко применяются в технике, где проведение замеров через строго одинаковые интервалы не составляет большого труда. Для их реализации существует много стандартных программ. Однако не все они могут быть приложены к анализу рядов с неравноотстоящими наблюдениями. В медицинских же биоритмических исследованиях неизбежно возникают пропуски наблюдений, т. к. будить людей нельзя: это влечет за собой искусственный сдвиг фазы ритма. В то же время методы, пригодные для анализа таких рядов, применимы и для анализа равноотстоящих данных. Данный метод может иметь широкое применение в медицине, начиная с выявления людей, входящих в группу риска по заболеванию онкологией, и заканчивая прогнозированием сезонных обострений геморроя или псориаза (и любой другой хронической болезни).
При описании ритмики преследуют следующие цели: выявление ритмических составляющих, а если таковые обнаружены - оценка параметров ритма и на основании этих сведений воспроизведение хода кривой, «очищенной» от шума. Это можно осуществить либо на основе табличных данных, определяющих некоторые характерные точки, или используя формулу, позволяющую рассчитать любую точку кривой. Именно такая формула выполняет роль модели явления. Модели могут быть различными, но они всегда отражают (описывают) сигнал, поступающий для регистрации от исследуемой осцилляторной системы. Нередко на выходе регистрируется результат деятельности не одного, а нескольких осцилляторов, в таком случае возникает необходимость изучения спектра с оценкой каждой его составляющей. Рассмотрим сначала пути анализа, исходя из наиболее простой одноосцилляторной модели.
В самом общем представлении все колебания можно разделить на два класса - гармонические и релаксационные. Первые описываются наиболее просто - синусоидами (косинусоидами), описание вторых сложнее. В наиболее общей форме ход ритмического процесса можно представить в качестве переходов от одного крайнего состояния к другому и обратно, повторяю-щихся через одинаковые промежутки времени. Такое определение подразумевает знание значений крайних состояний и периода процесса, но ничего не говорит о характере перехода, т. е. о форме кривой.
Переход от одного состояния к другому, достижение нового, начало возврата и сам возврат к исходному могут совершаться на каждом периоде в моменты, которые можно обозначить ti, t2, t3 и t4. Это позволяет выделить отрезки времени длительностью t2-ti - первый переход, t3-t2 - устойчивое состояние подъема, U-U - второй переход, U-U - устойчивое состояние спада. Информацию о характере переходов можно получить, вычисляя первую и вторую производные, время достижения ими максимума и обращения- в ноль. Зная их положение во времени, можно в известной степени судить о механизме процесса, отождествляя вторую производную с силой (не обязательно, естественно, механической), вызывающей колебательный процесс. Величина экстремумов первой производной позволяет судить о наибольшей скорости изменения процесса.
При столь значительной информативности указанные сведения, представленные в виде таблицы, хоть и дают приблизительное описание процесса, но не представляют собой модели, по которой исходная кривая может быть воспроизведена без
интерполирования.
Примерами крайних вариантов моделей могут служить синусоида и прямоугольный импульс. Синусоида отображает такой процесс, при котором совпадают точки ti с U, a t2 с t3, иначе говоря, когда устойчивых состояний нет, a t.j(ti)-ts(t2) равно t2(t3)-ti(t4), т. е. этапы подъема и спада симметричны во времени. Изменения производных показывают, что сила, вызывающая отклонение системы от устойчивого состояния, действует непрерывно и пропорциональна величине процесса с обратным знаком. Аппарат аппроксимации синусоидой хорошо разработан и нередко эту модель принимают как разумеющуюся. Вместе с тем априорно судить о форме кривой нельзя, выбор должен быть обоснован; если аппроксимация оказалась статистически значимой при заданном уровне вероятности, с таким же уровнем вероятности может быть принята и сама синусоидальная модель процесса.
Любая реально существующая система обладает инерцией, а воздействующие на нее силы конечны, поэтому переходные состояния всегда требуют некоторого времени. Отсюда следует, что модель процесса в целом должна включать в себя и модель переходных состояний. В случае синусоиды она наиболее проста: модель процесса в целом и модель переходных состояний совпадают.
Перед построением модели целесообразно выявить ход процесса, освободив его от статистических шумов (случайных флюктуации). Это успешно достигается применением сглаживания скользящими средними, но возможно лишь при равноотстоящих наблюдениях. Данный способ можно использовать и для анализа спектра в качестве фильтра, подавляющего колебания более короткие, чем отрезок сглаживания. Более медленные колебания сохраняются, хотя и подавляются. Их величина, однако, может быть восстановлена. При неравноотстоящих наблюдениях можно применять метод кусочной регрессии. В этом случае аппроксимацию проводят не путем вычисления среднего значения для точки, соответствующей середине пробного отрезка, а путем вычисления линии регрессии на отрезке, оценивая методом наименьших квадратов. При этом ординаты, соответствующие времени одного и того же наблюдения (для каждого пробного отрезка выравнивания), обычно не совпадают, поэтому их усредняют.
Использование полинома 1-й степени по трем точкам может служить фильтром, отсекающим все высокочастотные составляющие, включая шумы. Для того чтобы определить ход кривой детальнее, особенно на крутых изгибах, применяют аппроксимацию полиномом 3-й степени по 5 точкам. С помощью этого метода можно довольно точно моделировать и одно синусоидальное колебание.
Выявление хода процесса на всем протяжении от первого до последнего наблюдения позволяет уже визуально судить, присутствует ли в нем монотонный тренд, сколько экстремумов имеет кривая, проявляется ли суперпозиция нескольких составляющих. Если тренд выявляется, его целесообразно исключить перед дальнейшим анализом ритмичности. Если кривая имеет несколько экстремумов, можно составить представление о длительности периодов колебаний.
Следует остановиться на случае, когда выявляются только два экстремума (положительный и отрицательный), так что можно предполагать существование завершенного колебания с периодом, равным длине ряда. Это не более чем предположение, поскольку, согласно теореме Котельникова - Шеннона, для выявления реально существующей периодичности требуется, чтобы длина ряда была не менее чем в 2 раза больше длины выявляемого периода. Это легко понять чисто логически, без математических доказательств. Во-первых, если речь идет о периодичности, подразумевается повторяемость состояний. Существование же одного колебания не дает никаких оснований для суждения о том, были ли такие колебания ранее и будут ли они в дальнейшем. Возможно, ход процесса был совершенно ровным, а во время наблюдения возник какой-то единичный всплеск. Конечно, данный всплеск формально может быть описан в рамках периодического колебания, но, принимая такую модель, следует отдавать себе отчет в ограниченности возможности распространять ее на процесс в целом.
Страница 1 - 1 из 3
Начало | Пред. | 1 2 3 | След. | Конец
При описании ритмики преследуют следующие цели: выявление ритмических составляющих, а если таковые обнаружены - оценка параметров ритма и на основании этих сведений воспроизведение хода кривой, «очищенной» от шума. Это можно осуществить либо на основе табличных данных, определяющих некоторые характерные точки, или используя формулу, позволяющую рассчитать любую точку кривой. Именно такая формула выполняет роль модели явления. Модели могут быть различными, но они всегда отражают (описывают) сигнал, поступающий для регистрации от исследуемой осцилляторной системы. Нередко на выходе регистрируется результат деятельности не одного, а нескольких осцилляторов, в таком случае возникает необходимость изучения спектра с оценкой каждой его составляющей. Рассмотрим сначала пути анализа, исходя из наиболее простой одноосцилляторной модели.
В самом общем представлении все колебания можно разделить на два класса - гармонические и релаксационные. Первые описываются наиболее просто - синусоидами (косинусоидами), описание вторых сложнее. В наиболее общей форме ход ритмического процесса можно представить в качестве переходов от одного крайнего состояния к другому и обратно, повторяю-щихся через одинаковые промежутки времени. Такое определение подразумевает знание значений крайних состояний и периода процесса, но ничего не говорит о характере перехода, т. е. о форме кривой.
Переход от одного состояния к другому, достижение нового, начало возврата и сам возврат к исходному могут совершаться на каждом периоде в моменты, которые можно обозначить ti, t2, t3 и t4. Это позволяет выделить отрезки времени длительностью t2-ti - первый переход, t3-t2 - устойчивое состояние подъема, U-U - второй переход, U-U - устойчивое состояние спада. Информацию о характере переходов можно получить, вычисляя первую и вторую производные, время достижения ими максимума и обращения- в ноль. Зная их положение во времени, можно в известной степени судить о механизме процесса, отождествляя вторую производную с силой (не обязательно, естественно, механической), вызывающей колебательный процесс. Величина экстремумов первой производной позволяет судить о наибольшей скорости изменения процесса.
При столь значительной информативности указанные сведения, представленные в виде таблицы, хоть и дают приблизительное описание процесса, но не представляют собой модели, по которой исходная кривая может быть воспроизведена без
интерполирования.
Примерами крайних вариантов моделей могут служить синусоида и прямоугольный импульс. Синусоида отображает такой процесс, при котором совпадают точки ti с U, a t2 с t3, иначе говоря, когда устойчивых состояний нет, a t.j(ti)-ts(t2) равно t2(t3)-ti(t4), т. е. этапы подъема и спада симметричны во времени. Изменения производных показывают, что сила, вызывающая отклонение системы от устойчивого состояния, действует непрерывно и пропорциональна величине процесса с обратным знаком. Аппарат аппроксимации синусоидой хорошо разработан и нередко эту модель принимают как разумеющуюся. Вместе с тем априорно судить о форме кривой нельзя, выбор должен быть обоснован; если аппроксимация оказалась статистически значимой при заданном уровне вероятности, с таким же уровнем вероятности может быть принята и сама синусоидальная модель процесса.
Любая реально существующая система обладает инерцией, а воздействующие на нее силы конечны, поэтому переходные состояния всегда требуют некоторого времени. Отсюда следует, что модель процесса в целом должна включать в себя и модель переходных состояний. В случае синусоиды она наиболее проста: модель процесса в целом и модель переходных состояний совпадают.
Перед построением модели целесообразно выявить ход процесса, освободив его от статистических шумов (случайных флюктуации). Это успешно достигается применением сглаживания скользящими средними, но возможно лишь при равноотстоящих наблюдениях. Данный способ можно использовать и для анализа спектра в качестве фильтра, подавляющего колебания более короткие, чем отрезок сглаживания. Более медленные колебания сохраняются, хотя и подавляются. Их величина, однако, может быть восстановлена. При неравноотстоящих наблюдениях можно применять метод кусочной регрессии. В этом случае аппроксимацию проводят не путем вычисления среднего значения для точки, соответствующей середине пробного отрезка, а путем вычисления линии регрессии на отрезке, оценивая методом наименьших квадратов. При этом ординаты, соответствующие времени одного и того же наблюдения (для каждого пробного отрезка выравнивания), обычно не совпадают, поэтому их усредняют.
Использование полинома 1-й степени по трем точкам может служить фильтром, отсекающим все высокочастотные составляющие, включая шумы. Для того чтобы определить ход кривой детальнее, особенно на крутых изгибах, применяют аппроксимацию полиномом 3-й степени по 5 точкам. С помощью этого метода можно довольно точно моделировать и одно синусоидальное колебание.
Выявление хода процесса на всем протяжении от первого до последнего наблюдения позволяет уже визуально судить, присутствует ли в нем монотонный тренд, сколько экстремумов имеет кривая, проявляется ли суперпозиция нескольких составляющих. Если тренд выявляется, его целесообразно исключить перед дальнейшим анализом ритмичности. Если кривая имеет несколько экстремумов, можно составить представление о длительности периодов колебаний.
Следует остановиться на случае, когда выявляются только два экстремума (положительный и отрицательный), так что можно предполагать существование завершенного колебания с периодом, равным длине ряда. Это не более чем предположение, поскольку, согласно теореме Котельникова - Шеннона, для выявления реально существующей периодичности требуется, чтобы длина ряда была не менее чем в 2 раза больше длины выявляемого периода. Это легко понять чисто логически, без математических доказательств. Во-первых, если речь идет о периодичности, подразумевается повторяемость состояний. Существование же одного колебания не дает никаких оснований для суждения о том, были ли такие колебания ранее и будут ли они в дальнейшем. Возможно, ход процесса был совершенно ровным, а во время наблюдения возник какой-то единичный всплеск. Конечно, данный всплеск формально может быть описан в рамках периодического колебания, но, принимая такую модель, следует отдавать себе отчет в ограниченности возможности распространять ее на процесс в целом.
Страница 1 - 1 из 3
Начало | Пред. | 1 2 3 | След. | Конец